조송현 기자
“하이젠베르크의 불확정성 원리 이후 이뤄진 모든 이론물리학의 새로운 발견은 불확정성 원리의 재해석에 불과하다.”
아인슈타인 이후 최고의 천재 물리학자라는 평가를 듣는 파인만의 말이다. 불확정성 원리의 물리학사적 평가인데, 이 원리의 영향력이 그만큼 깊고 넓다는 뜻이다.
불확정성 원리는 고전역학과 양자역학을 가르는 이정표이자 가장 은밀하면서도 가장 신비로운 자연의 속성을 말해준다.
하이젠베르크는 이처럼 엄청난 비밀, 불확정성 원리를 어떻게 발견했을까?
고전역학에서는 위치 베이스의 물체 상태와 속도(운동량) 베이스의 물체 상태가 같다. 그러나 원자 연구가 진행되면서 폴 디랙, 볼프강 파울리 등은 위치 기반의 값과 운동량 베이스의 값이 각기 다른 양자 상태를 나타낸다는 놀라운 사실과 마주했다.
하이젠베르크는 1926년 10월 19일 친한 친구인 볼프강 파울리로부터 다음의 내용이 적힌 편지를 받았다.
“자네는 p(위치)의 눈으로 세상을 볼 수 있고, 또 q(운동량)의 눈으로도 세상을 볼 수 있네. 그러나 만약 자네가 동시에 두 눈을 뜨고 세상을 보려한다면 아마 미쳐버릴 것이네.”
이것은 바로 불확정성 원리의 은유적 표현이다, 비록 파울리 자신은 미처 깨닫지 못했지만. 이 구절은 하이젠베르크의 마음속에서 큰 공명을 일으켰음에 틀림없다.
사실, 불확정성 원리의 개념은 매트릭스 역학이라고 부르는 하이젠베르크의 양자역학 공식에 숨어 있었다. 비록, 처음엔 하이젠베르크 자신도 몰랐지만.
하이젠베르크의 논문에서 불확정성 원리의 개념을 처음 발견해 수식화한 물리학자는 바로 막스 보른이다.
하이젠베르크는 1925년 7월 ‘Quantum theoretical re-interpretation of kinematic and mechanical relations’ 제목의 양자역학 논문을 발표했다. 원자가 방출하는 빛(에너지)과 같은 원칙적으로 관측 가능한 양들 사이의 관계식을 완성한 것이다.
막스 보른은 하이젠베르크의 양자역학의 수학적 표현이 행렬임을 간파하고 제자인 파스큐알 조르단과 함께 이를 더욱 정교하게 다듬어 그해 1925년 9월 논문으로 발표했다. 비슷한 시기에 폴 디랙도 독자적으로 자신과 같은 작업을 하고 있었다. 막스 보른은 위치 행렬과 운동량 행렬이 서로 교환되지 않는다는 놀라운 사실을 발견했다. 그 수식은 다음과 같다.
pq – qp = - iħ(마이너스 i h bar)
이는 수학적 언어에서 양자역학과 고전역학 사이의 본질적인 차이를 극명하게 보여주는 것이다.
하이젠베르크는 막스 보른은 위치 행렬과 운동량 행렬이 서로 교환되지 않는다는 이 방정식을 보고 불확정성 원리에 대한 영감을 얻었다.
1926년 3월 보어 연구소에서 연구하던 하이젠베르크는 비교환성이 불확정성 원리를 함축한다는 것을 깨달았다. 교환되지 않는 두 변수는 동시에 측정할 수 없다. 하나를 더 정확하게 알면 알수록 다른 하나는 덜 정확하게 알게 된다. 하이젠베르크는 다음과 같이 썼다.
그것은 다음과 같이 가장 간단한 형태로 표현될 수 있다. 가장 작은 입자 중 하나의 움직임을 결정하는 두 가지 중요한 요소인 위치와 속도를 완벽하게 정확하게 알 수는 없다. 같은 순간에 입자의 위치와 방향 및 속도를 모두 정확하게 결정하는 것은 불가능하다.
하이젠베르크가 불확정성 원리를 수식화한 것은 1927년 2월이다. 그는 디랙-요르단의 ‘양자역학-고전역학 변환이론’을 통해 간단한 수식을 도출할 수 있었다. 후에 ‘불확정성 원리’로 명명된 이 수식은 위치 변화와 운동량 변화의 곱은 플랑크 상수보다 더 작아질 수 없음을 규정한다.
그의 유명한 1927년 논문 "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik"("On the Perceptual Content of Quantum Theoretical Kinematics and Mechanics")에서 하이젠베르크는 이 표현을 위치 측정으로 인해 발생하는 피할 수 없는 운동량 교란의 최소량으로 설정했다. 그러나 그는 불확실성 Δx와 Δp에 대한 정확한 정의를 내리지 않았다.
하이젠베르크는 드디어 ‘안개상자 안의 관찰’을 양자역학의 수학으로 해석하는 데 성공했다고 생각했다. 이제 남은 것은 어떠한 임의의 실험에서도 이 불확정성 관계가 성립한다는 것을 증명하는 것, 즉 일반화시키는 일이었다.
하이젠베르크는 자신의 통찰이 일반적인 원리임을 보여주기 위해 ‘감마선 현미경’ 사고실험을 고안했다. 이는 괴팅겐대학 시절 친구인 부르크하르트 드루데와의 대화에서 힌트를 얻은 것이다. 그런데다 3년 전 콤프턴이 실시한 광자와 전자의 충돌 실험 결과 산란 후 광자의 진동수가 변하는 ‘콤프턴 효과’가 만천하에 알려지면서 하이젠베르크의 머릿속에 뚜렷하게 각인돼 있었다.
하이젠베르크의 ‘감마선 현미경’ 사고실험의 개념은 다음과 같다. 전자를 위치를 정확하게 보기 위해선 진동수가 큰 강한 빛을 쏘여야 한다. 그런데 진동수가 큰 photon을 맞은 전자는 그만큼 큰 충격을 받아 속도(운동량)가 크게 변할 수밖에 없다. 따라서 정확한 위치를 알려고 하는 행위가 곧 운동량의 부정확성을 키우는 결과를 가져오는 것이다.
하이젠베르크는 감마선 현미경 사고실험에서도 불확정성 원리를 수학적으로 성립함을 증명했다. 그는 마침내 불확정성 원리가 자연의 근원적인 원리라는 확신을 갖게 되었다.
하이젠베르크는 불확정성 원리를 완성한 직후 지도교수인 보어보다 먼저 파울리에게 그가 얻은 결론을 설명하는 장문의 편지를 보냈다.
'전자의 위치에 관한 정보를 더 많이 알려고 하면, 운동량에 관한 정보를 그만큼 잃는다. 그 반대의 경우도 마찬가지이다.’
불확정성 원리에 관한 보어 - 하이젠베르크 토론
하이젠베르크의 이 발견은 스키 휴가에서 돌아온 보어와 격렬한 토론을 거쳐 보완된다.
하이젠베르크는 관측 행위를 광자와 전자라는 ‘두 입자’의 충돌문제로 가정했다. 따라서 ‘부정확성’은 측정 과정에서 수반되는 불연속성 및 불예측성으로부터 연유한다고 보았다.
그러나 보어는 파동역학을 적용해 부정확성의 연원이 ‘파동-입자의 이중성’에 있다고 주장했다. 보어는 관측자가 입자인 광자로써가 아니라 작은 파동다발로써 파동인 전자를 관측한다고 해석했다.
보어 해석의 근저에는 스키 휴가 동안 고안한 상보성의 원리가 자리하고 있었다. 하이젠베르크는 자신의 새로운 발견에 대한 보어의 재해석을 몹시 못마땅하게 생각했다. 그런 와중에 코펜하겐에서 일하고 있던 스웨덴의 물리학자 오스카 클라인이 “두 사람은 서로 간의 해석에는 큰 차이가 없다”고 중재했다.
하이젠베르크는 보어에게 “우리의 언어가 꼭 들어맞지 않는 것 같다.”고 말했다. 아마 어떤 단어도 그의 아이디어를 정확하게 붙잡지 못한다고 느꼈기 때문이다.
하이젠베르크는 줄곧 피할 수 없는 ‘부정확성 inexactness(Ungenauigkeit)’이라는 단어를 썼다. 그러나 이 단어는 그의 새로운 발견을 기술하기에는 부족했다. 예전부터 겪어온 정확한 측정에의 어려움과 그런 관측이 본질적으로 불가능하다는 새로운 사실을 구별하기에 충분하지 않았다. 하이젠베르크는 또 부정확성 외에 수학적 기술의 불확실성 또는 미결정성을 의미하는 의미로 ‘indeteminancy(Unbestimmtheit)’란 단어를 쓰기도 했다.
논문 말미에 보어와의 토론 내용을 첨부한 엔드노트에 ‘불확정성(Uncertainty, Unsicherheit)’이란 단어를 썼고, 이것이 영어권 물리학자들에게 즉각 수용되면서 보편화되었다.
불확정성 원리는 양자론의 핵심으로 심오한 철학적 의미를 내포하고 있다. 이것은 관측 행위 자체가 관측 대상에 영향을 미치기 때문에, 그리고 미시적 물체가 입자와 파동의 이중성을 가지기 때문에 발생하는 자연의 속성이다.
무엇보다 중요한 사실은 불확정성이 입자의 위치와 운동량을 측정하는 인간의 능력이 부족해 발생하는 것이 아니라는 점이다. 하이젠베르크가 발견한 것은 한 입자가 잘 정의된 위치와 잘 정의된 운동량을 동시에 가질 수 없다는 것이다.
이것은 인간이 그동안 가지고 있던 물질관과 자연관을 근본부터 뒤집었다.
뉴턴 이래 물질세계에 대한 물리학자의 인식은 ‘처음에 일정한 조건만 정해지면 그 다음의 상태나 운동은 모두 예상할 수 있다.’는 것이었다. 곧 결정론이다.
하지만 양자론에 따르면 불확정성 원리가 나타내듯이 ‘최초의 조건’이 역시 하나로 정해지지 않는다. 그 미래도 복수의 가능성이 있고, 어느 것이 실현될지는 확률적으로 우연에 의해 이루어진다.
양자론은 물질이나 자연이 단순히 하나의 상태로 정해지지 않고 굉장히 애매하다는 사실을, 그리고 그 모호함이야말로 자연의 본질이라는 것을 우리에게 말해준다.
How did Heisenberg discover the uncertainty principle?
“All new discoveries in theoretical physics made since Heisenberg’s Uncertainty Principle are nothing but reinterpretations of the Uncertainty Principle.”
These are the words of Feynman, who is evaluated as the greatest genius physicist since Einstein. It is a physics-historical evaluation of the uncertainty principle, which means that the influence of this principle is so deep and wide.
The uncertainty principle is a milestone that separates classical mechanics from quantum mechanics and tells the most secret and most mysterious property of nature.
How did Heisenberg discover such a huge secret, the uncertainty principle?
In classical mechanics, the position-based object state and the velocity (momentum)-based object state are the same. However, as research on the atom proceeds, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, and others encountered the surprising fact that position-based account and momentum-based account represent different quantum states.
Wolfgang Pauli had come across the same awkwardness. On October 19, 1926, Heisenberg received a letter from his close friend Pauli with the following content:
“You can look at the world with p(position)-eye, and you can look at it with q (momentum)-eye. But if you want to open both eyes at the same time, you will go crazy.”
This is the metaphorical expression of the uncertainty principle, although Pauli himself did not realize it. This phrase must have had a great resonance in Heisenberg's mind.
In fact, the concept of the uncertainty principle was hidden in Heisenberg's formulation of quantum mechanics called matrix mechanics. Although, at first, even Heisenberg himself did not know.
Max Born is the physicist who first discovered the concept of the uncertainty principle in Heisenberg's paper.
In July 1925, Heisenberg published a paper on quantum mechanics titled 'Quantum theoretical re-interpretation of kinematic and mechanical relations'. He estableshed the relationships between quantities which in principle are observable such as frequency of light emitted by atoms.
Max Born discovered that Heisenberg's mathematical expression of quantum mechanics was a matrix, and together with his student Pascual Jordan, began to make a transcription and extention and they submitted their results for publication; the paper was received for publication just 60 days after Heisenberg's paper. Around the same time, Paul Dirac was independently working on the same work as himself.
Max Born discovered the surprising fact that the position and momentum matrices are not commutable. Its formula is:
pq - qp = h/2πi
This clearly shows the essential difference between quantum mechanics and classical mechanics in mathematical language.
Heisenberg got his inspiration for the Uncertainty Principle when he saw this equation.
In March 1926, while working at the Bohr Institute, Heisenberg realized that non-commutability implies the uncertainty principle. Two variables that are not commutable cannot be measured simultaneously. The more accurately we know one, the less precisely we know the other. Heisenberg wrote:
The two important factors determining the motion of one of the smallest particles - position and velocity - can never be known with perfect precision. It is impossible to accurately determine the position, direction and speed of a particle all at the same instant.
It was in February 1927 that Heisenberg formulated the uncertainty principle. He was able to derive a formula through Dirac-Jordan's 'Quantum Mechanics-Classical Mechanics Transformation Theory'. This equation, later named the 'uncertainty principle', stipulates that the product of a change in position and a change in momentum cannot be smaller than Planck's constant.
In his celebrated 1927 paper, "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik" ("On the Perceptual Content of Quantum Theoretical Kinematics and Mechanics"), Heisenberg established this expression as the minimum amount of unavoidable momentum disturbance caused by any position measurement, but he did not give a precise definition for the uncertainties Δx and Δp.
Heisenberg thought he had finally succeeded in interpreting ‘observations in the clould chamber’ as the mathematics of quantum mechanics. All that was left was to prove, that is, to generalize, that this uncertainty relations holds in any random experiment.
Heisenberg devised the ‘gamma ray microscope’ thought experiment to show that his own insights were general principles.
This was hinted at by a conversation he had with his friend Burkhard Drude at the University of Göttingen. It was clearly imprinted in Heisenberg’s mind owing to the “Compton scattering” experiment conducted by Compton three years ago.
The concept of Heisenberg's 'gamma ray microscope' thought experiment is as follows. In order to accurately locate the electrons, a strong light with a high frequency must be emitted. However, when an electron hits a photon with a high frequency, it receives a large impact and its velocity (momentum) is bound to change significantly. Therefore, the act of trying to know the exact location will soon bring the result of increasing the inaccuracy of the momentum.
Heisenberg also proved that the uncertainty principle was mathematically established in his gamma-ray microscope thought experiment. He was finally convinced that the uncertainty principle was a fundamental principle of nature.
Immediately after completing his Uncertainty Principle, Heisenberg sent a long letter to Pauli explaining the conclusions he had reached, before his supervisor Bohr.
'If you try to know more information about an electron's position, you lose that much information about its momentum. And vice versa.’
The Bohr-Heisenberg Discussion on the Uncertainty Principle
Heisenberg's discovery was supplemented through intense discussions with Bohr, who returned from a skiing vacation.
Heisenberg assumed that the act of observation was a matter of collision between two particles, a photon and an electron. Therefore, ‘inaccuracies’ were viewed as originating from the discontinuity and unpredictability accompanying the measurement process.
However, Bohr applied wave mechanics and argued that the origin of the inaccuracy was in the 'wave-particle duality'. Bohr interpreted the observer to observe the electron as a wave, not as a particle, photon, but as a bundle of small waves.
At the root of Bohr's interpretation was the principle of complementarity devised during a ski vacation. Heisenberg was very displeased with Bohr's reinterpretation of his new discovery. In the meantime, Swedish physicist Oscar Klein who was working in Copenhagen mediated "There is no difference in interpretation between the two."
Heisenberg told Bohr, "Our words don't fit." Probably because he felt that no words could accurately capture his ideas.
Heisenberg has always used the word ‘inexactness(Ungenauigkeit)’. However these words were not enough to describe his new discovery. Heisenberg also used the word 'indeteminancy(Unbestimmtheit)' to mean the uncertainty or indeterminacy of a mathematical description besides imprecision.
At the end of the paper, he wrote the word ‘uncertainty(Unsicherheit)’ in the end note attached to the discussion with Bohr, and it became universal as it was immediately accepted by English-speaking physicists.
The uncertainty principle is the core of quantum theory and has profound philosophical meaning. This is a property of nature that occurs because the act of observation itself affects the object of observation and because microscopic objects have the duality of particles and waves.
Most importantly, the uncertainty is not caused by a lack of human ability to measure the position and momentum of particles. What Heisenberg discovered was that a particle cannot have a well-defined position and a well-defined momentum at the same time.
This fundamentally overturned the human view of matter and nature.
Since Newton, physicists' perception of the material world has been that 'if certain conditions are initially set, all subsequent states or motions can be predicted.' It is the very determinism.
However, according to quantum theory, the 'initial condition' can not be fixed as one because of the uncertainty principle. The future also has multiple possibilities, and which one will come true is probabilistically determined by chance.
Quantum theory tells us that matter or nature is not simply defined as a single state and is very ambiguous, and that ambiguity is the essence of nature.
<pinepines@injurytime.kr>
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