아인슈타인은 특수상대성이론의 두 가지 한계에 마음이 편치 않았다. 그 하나는 이 이론이 ‘일정한 속도로 운동하는 관성계’에서만 적용된다는 점이고, 다른 하나는 뉴턴의 중력이론을 포함하지 못한다는 점이다.

아인슈타인은 특수상대성이론을 가속 운동과 중력이 작용하는 비관성계에서도 성립하는 이론으로 확장하는 방법을 고심했다.

그러던 1907년 9월 어느 날 아인슈타인은 베른 특허국의 의자에 앉아 있었다. 그때 문득 한 생각이 떠올랐다.

‘만약 어떤 사람이 자유낙하 한다면 그는 자신의 몸무게를 느끼지 못할 것이다.’

이 상상은 자신을 화들짝 놀라게 했고, 이후 8년 동안 열성적으로 일반상대성이론에 매달리게 했다. 아인슈타인은 후에 이를 ‘생애 최고의 상상’이라고 회상했다. 그 상상은 일반상대성이론의 기초가 되는 ‘등가 원리(equivalence principle)’로 구체화되었다.

등가 원리를 간단히 말하면, ‘관성 질량과 중력 질량이 같고, 가속 운동의 효과와 중력의 효과를 구분할 수 없다’는 것이다.

아인슈타인의 상상으로 돌아가보자. 우리는 사실 ‘자유낙하 하는 사람은 몸무게를 느끼지 못할 것’이라는 아인슈타인의 상상과 비슷한 경험을 자주 한다. 승강기를 타고 올라갈 때 처음엔 우리 몸이 약간 무거워지는 느낌을 받는다. 이와 반대로 내려갈 때는 살짝 가벼워지는 느낌을 받는다.

만약 이때 승강기가 내려갈 때 가속도가 점점 더 커진다면 우리는 몸무게가 점점 더 가벼워지는 것으로 느낄 것이다. 마침내 자유낙하(중력가속도 9.8m/s²)에까지 이르면 우리는 몸무게가 완전히 0이라고 느끼게 될 것이다. 호주머니 속의 동전을 꺼내면 둥둥 뜨게 될 것이다. 아인슈타인은 이 상태를 상상했다. 속도의 변화(가속) 효과를 중력의 변화 효과로 느끼는 생활 속의 좋은 예이다.

아인슈타인은 중력과 가속 효과의 등가성을 확인하기 위해 한발 더 나아가 다음과 같은 사고실험을 했다.

거대한 우주선이 지상에서 발사를 대기하고 있다. 우주인들은 우주선 안에서 지구중력(중력가속도 g)에 해당하는 몸무게를 느끼게 된다. 이제 우주선이 지구궤도를 탈출해 태양과 항성들의 ‘중력이 거의 미치지 않는 우주공간’에 도달해 멈췄다. 중력이 작용하지 않는 데다 정지해 있으므로 우리 몸은 우주선 안에 붕 떠 있게 될 것이다.

이때 다른 우주선이 지붕 쪽으로 살그머니 다가와 우리 우주선을 끌어올리면서 가속도를 지구중력 가속도와 같은 g에 이르게 한다. 이렇게 되면 우주선 안의 우주인들은 바닥으로 향하는 힘을 느끼게 된다. 공중에 붕 떠 있던 우주인의 몸(발)은 바닥에 닿게 될 것이고, 어떤 힘을 느끼게 될 것이다. 그 힘은 지구에서 느끼는 몸무게와 똑같을 것이다.

퀴즈 하나. 만약 우주선이 발사되기 전부터 마취돼 있던 우주인 A가 지금 막 깨어났다면, 그는 우주선이 가속 비행을 하는 중인지 혹은 아직 지구에서 발사 대기 상태로 있는지 알 수 있을까? 아인슈타인 사고실험이 알려주는 답은 ‘알 수 없다’이다. 즉, 중력 효과와 가속 운동 효과를 구별할 수 없다.

아인슈타인은 다음과 같이 설명했다 : 우주선이 지구에 발사 대기하고 있을 때 우주인이 느끼는 몸무게는 중력질량에 기인한다. 반면 우주선이 가속으로 끌려갈 때 우주인이 느끼는 몸무게는 관성질량에 기인한다. 그런데 중력질량과 관성질량은 똑같다. 따라서 주어진 시스템의 관측 효과가 가속 운동에 의한 것인지, 아니면 중력장에 의한 것인지 구별하는 것은 불가능하다.

뉴턴도 이미 관성질량과 중력질량이 같다는 사실을 알긴 했으나 그 심오한 의미를 적극적으로 해석하지 않았다.

뉴턴의 운동법칙은 힘과 가속도 관계의 방정식(F=m₁a)으로 기술된다. 여기서 물체의 질량 m₁은 관성질량이다. 관성질량이란 물체가 힘에 의해 가속될 때 받는 저항의 크기를 말한다.

중력장 내의 물체가 받는 힘은 중력질량과 중력가속도(중력장의 세기)로 표현된다(F=m₂g). 중력질량이란 물체가 중력에 대해 반응하는 정도를 나타내는 양으로, 중력 효과의 척도이다. 중력가속도는 모든 물체에 대해 똑같은 값을 갖는다는 사실을 갈릴레이가 증명했다.

따라서 위의 두 가지 관계식을 통해 물체의 중력질량은 그 물체의 관성질량과 같다는 사실을 알 수 있다. 중력질량과 관성질량이 같다는 것은 곧 중력과 가속도가 물리적으로 동등하다는 뜻이다. 아인슈타인은 이를 이렇게 해석했다.

한 물체의 동일한 성질이 상황에 따라 ‘관성(inertia)’으로도 나타나고 ‘무게(weight)’로도 나타난다. 여기서 관성은 가속도의 다른 표현이고, 무게는 중력의 다른 표현이다.

갈릴레이와 뉴턴 이후 관성질량과 중력질량의 동등성은 실험으로도 확증되었다. 헝가리의 물리학자 외트뵈시(Otvos, 1848~1919)는 1889년과 1908년 두 차례에 걸쳐 등가성 여부를 확인하는 실험을 했다. 그 결과 관성질량과 중력질량이 약 10억 분의 1 범위 내에서 같은 것으로 확인되었다.

관성질량과 중력질량이 같다는 사실은 우주의 심오한 진리를 품고 있었다. 아인슈타인은 ‘생애 가장 행복한 상상’을 통해 가속 효과와 중력 효과의 등가성을 통찰하고 '나자빠질 만큼 놀랐다'고 했는데, 그만한 이유가 있었다.

지난날 중력은 너무나 비밀스러운 현상이었다. 물리적으로 다루기에는 비현실적이고 모호했던 것이다. 반대로 가속 운동은 비교적 다루기가 쉽다. 뉴턴의 운동법칙이 친숙하듯이. 그런데 등가 원리에 따르면, 중력과 가속 운동 효과가 동일하다. 이 등가 원리가 위대한 것은 다루기 힘든 중력을 가속 운동의 개념으로 바꾸어 이해함으로써 중력의 비밀을 한 꺼풀 벗길 수 있었다는 점이다. 이렇게 바꿔 이해할 수 있다는 깨달음, 이것이 바로 아인슈타인이 말한 ‘생애 가장 행복한 혹은 행운의 생각’인 것이다.

‘자유낙하 엘리베이터 사고실험’과 ‘우주선 사고실험’ 결과가 알려주는 것은, 갈릴레이 공간(관성계)에서 우주선이 가속 비행 중일지라도 ‘우주선이 중력장에서 정지하고 있다’고 생각할 수 있다는 것이다. 즉, 가속도와 중력이 서로 상대적인(교환 가능한) 물리량이라는 말이다.

가속 효과와 중력 효과를 구별할 수 없다는 사실로부터 우리는 균일한 중력장을 가진 관성계를 가속 운동 하는 비관성계로 대체할 수 있다.

이로써 아인슈타인은 ‘등가 원리(equivalence principle)’가 신뢰할 만하다고 확신하게 되었다. 그래서 이를 이론의 출발이 되는 핵심적인 가설, postulate로 내세웠다.

“가속되는 좌표계에서의 자연법칙은 중력장 안에서의 자연법칙과 동일하다.”

이로부터 아인슈타인은 특수상대성이론을 일정한 속도로 움직이는 관성계에 한정되지 않는 이론으로 일반화 하는 작업에 착수하게 된다. 그러나 그 길이 얼마나 멀고 험난한 여정인지 ‘생애 최고의 영감’을 경험한 1907년 당시에 아인슈타인은 상상조차 하지 못했다.

Einstein was not comfortable with the two limitations of the theory of special relativity. One is that this theory applies only to ‘inertial systems moving at a uniform-constant speed’, and the other is that it does not incorporate Newton’s theory of gravity.

Einstein agonized over how to extend the special theory of relativity into a theory that holds true even in non-inertial systems where accelerated motion and gravity work.

Then one day in September 1907, Einstein was sitting in a chair at the Bern Patent Office. Then he suddenly had an idea.

‘If a person falls freely, he will not feel his own weight.’

This thought “startled” him, and for the next eight years he devoted himself to general relativity. Einstein later recalled it as “The happiest Thought in my life.”

That thought was embodied in the ‘equivalence principle’, which is the basis of the general theory of relativity.

In simple terms, the equivalence principle states that the inertial mass and the gravitational mass are the same, and the effects of accelerated motion cannot be distinguished from the effects of gravity.

Let's go back to Einstein's thought. In fact, we often have experiences similar to Einstein's imagination that 'a person in free fall will not feel weight'. When we go up in the elevator, at first we feel our body is a bit heavy. On the other hand, when we go down, we feel a little lighter.

If the acceleration increases as the elevator descends at this time, we will feel the weight getting lighter and lighter. When we finally reach free fall (gravitational acceleration 9.8 m/s²), we will feel that our body weight is completely zero. If you take a coin out of your pocket, it will float. Einstein imagined this state. This is a good example in daily life where the effect of change in speed (acceleration) is felt as the effect of change in gravity.

Einstein went one step further and conducted the following thought experiment to confirm the equivalence of the effects of gravity and acceleration.

A huge spacecraft is waiting for launch from the ground. Astronauts feel the weight corresponding to the earth's gravity (gravitational acceleration g) in the spacecraft. Now, the spacecraft has exited Earth's orbit and stopped in outer space , where the gravity of the sun and stars is barely within reach. Since there is no gravity and it is stationary, our bodies will float inside the spaceship.

At this time, another spaceship sneaks up on the roof and pulls our spacecraft up, bringing the acceleration to g equal to the Earth's gravitational acceleration.

When this happens, the astronauts inside the spaceship feel the force toward the bottom. The body (feet) of the astronauts floating in the air will touch the floor, and they will feel a certain force. That force would be equal to the weight they feel on Earth.

Here is one quiz. If astronaut A, who had been under anesthesia before the spacecraft was launched, had just woken up, would he be able to tell whether the spacecraft was in accelerated flight or was still waiting for launch on Earth?

Einstein's thought experiment tells us that the answer is 'he don't know'. That is, it cannot distinguish between the gravitational effect and the accelerating motion effect.

Einstein explained: The weight an astronaut feels when a spacecraft is waiting to launch to Earth is due to gravitational mass. On the other hand, when the spacecraft is being dragged by acceleration, the weight felt by the astronaut is due to inertial mass. However, gravitational mass and inertial mass are the same. Therefore, it is impossible to distinguish whether the observed effect of a given system is due to accelerated motion or a gravitational field.

Although Newton already knew that inertial mass and gravitational mass were the same, he did not actively interpret the profound meaning.

Newton's laws of motion are described by the equation of force and acceleration (F=m₁a). Here, the mass m₁ of the object is the inertial mass. Inertial mass is the amount of resistance an object experiences when it is accelerated by a force.

The force received by an object in the gravitational field is expressed as gravitational mass and gravitational acceleration (strength of the gravitational field) (F=m₂g). Gravitational mass is a quantity that indicates how well an object responds to gravity and is a measure of the effect of gravity. Galileo proved that the acceleration of gravity is the same for all objects.

Therefore, through the above two relations, it can be seen that the gravitational mass of an object is equal to its inertial mass. Equal gravitational mass and inertial mass means that gravity and acceleration are physically equivalent.

Einstein interpreted it this way:

The same property of an object appears as ‘inertia’ and also as ‘weight’ depending on the situation. Here, inertia is another expression of acceleration, and weight is another expression of gravity.

Since Galileo and Newton, the equivalence of inertial mass and gravitational mass has also been confirmed experimentally. Hungarian physicist Otvos (1848-1919) conducted an experiment to confirm equivalence twice, in 1889 and 1908. As a result, it was confirmed that the inertial mass and the gravitational mass were the same within the range of about one billionth.

The fact that inertial mass and gravitational mass are equal contained a profound truth of the universe. Einstein said that he was ‘startled’ after insight into the equivalence of the acceleration effect and the gravitational effect through 'the happiest thought', and there was a reason for that.

In the past, gravity was a very mysterious phenomenon. It was unrealistic and ambiguous to deal with physically. Conversely, accelerated motion is relatively easy to handle. As Newton's laws of motion are familiar. However, according to the equivalence principle, the effects of gravity and accelerated motion are the same. What is great about this equivalence principle is that it unlocks the secret of gravity by translating the intractable gravity into the concept of accelerated motion. The insight that it can be understood in this way is the “happiest or most fortunate thought in life,” as Einstein said.

What the results of the ‘free fall elevator thought experiment’ and ‘spacecraft thought experiment’ tell us is that even if the spacecraft is in accelerated flight in Galilean space (inertial system), it can be thought that ‘the spacecraft is at rest in the gravitational field’. In other words, acceleration and gravity are relative (exchangeable) physical quantities.

From the fact that we cannot differentiate between the acceleration effect and the gravitational effect, we can substitute an inertial system with a uniform gravitational field for an accelerated, non-inertial system.

This convinced Einstein that the 'equivalence principle' was reliable. So he put forward it as a key hypothesis, postulate, which is the starting point of the theory.

“The laws of nature in an accelerating coordinate system are the same as those in a gravitational field.”

From this, Einstein began to generalize the theory of special relativity into a theory that was not restricted to inertial systems moving at a uniform-constant speed. However, in 1907. when he experienced ‘the happiest thought in his life’, Einstein could not even imagine how long and arduous the road was.

<pinepines@injurytime.kr>

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