'굽은 공간'을 상상해보세요 Imagine a Curved Space – Einstein’s Relativity Odyssey 11
'굽은 공간'을 상상해보세요 Imagine a Curved Space – Einstein’s Relativity Odyssey 11
  • 조송현 기자 조송현 기자
  • 승인 2023.05.22 10:35
  • 업데이트 2023.05.22 10:35
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아인슈타인의 ‘굽은 공간’에 관한 대화

Q1. 지난 비디오에서는 아인슈타인이 ‘등가원리(equivalence principle)’를 통해 중력에 의한 빛의 휨 현상을 통찰한 과정을 우주선 사고실험을 통해 설명해주셨고요, 오늘은 아인슈타인이 ‘굽은 공간’을 어떻게 상상하고 시각화했는지를 소개하겠다고 예고해주셨죠?

예, ‘굽은 공간’, 상상이 되시나요?

아인슈타인은 중력에 의한 빛의 휨 현상을 통찰한 후 마침내 공간의 개념을 새롭게 혁신해야 할 필요성을 느낍니다. 새로운 공간을 상상하는 데는 그의 친구 에렌페스트(Paul Ehrenfest)가 제기했던 ‘에렌페스트 역설’이 좋은 힌트가 되었죠.

Q2. 에렌페스트 역설이 무슨 내용인지 간단히 설명해주시죠.

--> 에렌페스트의 역설은 오스트리아 태생의 이론 물리학자이자 아인슈타인의 가장 친한 친구인 폴 에렌페스트가 제안했습니다. '이상적인 강체' 디스크가 회전할 때 원주는 Lorentz-Fitzgerald 수축에 의해 수축되어야 합니다. 그러나 속도에 수직인 반경은 동일하게 유지됩니다. 따라서 회전하는 단단한 디스크는 부서져야 합니다. 강체란 외력을 가해도 모양이나 크기가 변형되지 않는 물체를 말합니다. 그러나 이 경우 단단한 디스크가 부서집니다. 그래서 역설적이네요.

그리고 이 경우 pi(π = 원주/직경)의 값은 기존에 알고 있던 3.14159...보다 작아집니다.

Q3. 유클리드 기하학에 따르면 원주율은 3.14157... 가 되어야 하니까, 역설이군요. 왜 역설인지 이해했습니다. 그러나 나는 반지름은 그대로인데 원주가 줄어든 디스크가 어떤 모습일지 궁금합니다. 도무지 상상이 안 됩니다.

--> 아인슈타인도 상상이 안 되어 고민했을 겁니다. 그는 마침내 사고실험을 통해 그런 요상한 원판의 그림을 그리려 시도했습니다.

Q4. 여기서도 어김없이 사고실험이 등장하는군요. 이번엔 어떤 사고실험입니까?

--> 에렌페스트 역설을 토대로 한 ‘회전 기준계 위의 시계와 측정용 자(scale)의 성질’라는 이름의 사고실험입니다.

Q5. 회전하는 원판 위에서 시계로 시간을 재고 자로 길이를 재보려는 사고실험인 것 같네요.

--> 맞습니다. 먼저 원판 위의 시간을 재볼까요? 똑 같이 맞춘 시계를 원판의 중심과 가운데 그리고 가장자리에 놔둡시다. 어느 시계가 가장 느리게 갈까요?

Q6. 속도가 빠르면 그만큼 더 느리게 가니까 맨 바깥에 있는 시계가 가장 느리게 갈 것 같고, 가운데는 조금 느리게 가고 중심은 움직이지 않으니까 시계가 그대로 갈 것 같은데요?

--> 정확히 맞췄습니다. 이제 아인슈타인은 시계를 놔둔 곳에서 회전하는 접선방향으로 길이를 재봅니다. 자가 어떻게 될까요?

Q7. 자의 길이가 짧아지나요?

--> 맞습니다. 자가 짧아졌습니다. 짧아진 자로 원판의 둘레를 측정해봤더니 원주가 정지 때보다 더 긴 값이 나오네요. 이어 반지름을 측정할 때는 속도와 수직 방향이라 자가 수축하지 않지요. 그러니 반지름은 정지한 원판과 같게 측정됩니다. 원주율 파이(π = 원주/지름)를 계산해봤더니 우리가 아는 3.14159보다 훨씬 더 큰 수치가 나옵니다. 게다가 파이 값이 원판 곳곳마다 다르게 측정됩니다. 접선 속도가 다르니까요. 아인슈타인은 이 사고실험에 등가원리를 적용시킵니다. 회전속도(=가속도)가 원판 곳곳의 원주율을 변화시킨다면 중력도 원판 곳곳의 원주율을 변화시킨다! 아인슈타인은 이 사고실험을 통해 이런 결과를 이끌어냈죠.

Q8. 그러니까 맨 바깥이 속도가 높고, 안으로 갈수록 느려지는 원판을 바깥은 중력장이 높고 중심으로 갈수록 중력장이 약해지는 원판이라고 바꿔 생각할 수 있다는 말이군요. 중력장이 원주율도 변화시킨다는 이 사고실험을 통해 아인슈타인이 마침내 굽어진 공간을 상상할 수 있었다는 것이군요.

--> 원주율이 3.14159가 아니고, 시간도 곳곳마다 다르게 흐르는 원판, 상상이 되십니까? 원주율 파이 π 값이 우리가 아는 3.14159...가 아니라는 것은 평면이 아니라는 뜻입니다. 기존 파이는 평면기하학인 유클리드 기하학에서 나온 것이거든요. 이를 통해 아인슈타인은 중력장이 미치는 3차원 공간은 유클리드 기하학으로는 기술될 수 없음을 깨닫고 새로운 기하학을 찾아야겠다고 결심합니다. 그 전에 먼저 아인슈타인은 새로운 기하학이 그려낼 굽은 공간의 그림들을 그려봅니다. 구체적인 그림들은 다음 시간에 보여드리겠습니다.

 

Dialogue concerning Einstein’s Imagination of the Curved Space

Q1. In the last video, You introduced Einstein's insight into light bending through the Equivalence Principle by a spacecraft thought experiment. Today you're going to introduce how Einstein imagined and visualized a curved space, right?

Yes, ‘curved space’, can you imagine it? After gaining insight into the bending of light by gravity, Einstein finally felt the need to innovate the concept of space. In imagining a new space structure, the ‘Ehrenfest Paradox’ proposed by his friend Paul Ehrenfest became a good hint.

Q2. Briefly explain what the Ehrenfest Paradox is.

Ehrenfest's Paradox was proposed by Paul Ehrenfest, an Austrian-born theoretical physicist and Einstein's best friend. When an ‘ideal rigid’ disk is rotated, the circumference should be contracted by Lorentz-Fitzgerald contraction. but the radius, perpendicular to the velocity, remains the same. So the rotating rigid disk should shatter. A rigid body is defined as an object that does not deform in shape or size even when an external force is applied. But the rigid disk shatter in this case. So it's a paradox.

And in this case, the value of pi (π = circumference/diameter) becomes smaller than 3.14159... that used to know.

Q3. I understood why that's a paradox. However, I wonder what a disk with the same radius but reduced circumference would look like. I can't imagine.

Even Einstein would have been troubled because he couldn't imagine it. He finally tried to paint a picture of such a strange disk through a thought experiment.

Q4. There is always a thought experiment here. What kind of thought experiment is this time?

It is a thought experiment named ‘Behaviour of clocks and Measuring-Rods on a rotating body of reference’ based on the Ehrenfest paradox.

Q5. It seems like a thought experiment to measure time with a clock and measure the length with a ruler on a rotating disk.

That's right. Shall we measure the time on the disk first? Let's put the clocks that match the same in the center, middle and edge of the disk. Which clock will run the slowest?

Q6. The faster the speed, the slower it goes, so the outermost clock seems to run the slowest, while the middle clock goes a little slower and the center doesn't move, so I think the clock is ticking as it is stationary?

You got it right. Now Einstein measures the length in the tangential direction of rotation where he left the clock. what will the ruler be like?

Q7. Does the length of the ruler get shorter?

That's right. It has been shortened. He measured the circumference of the disk with a shortened ruler, and the circumference is longer than when it was stationary. Then, when measuring the radius, the ruler does not contract because it is perpendicular to the velocity. So the radius is measured like a stationary disk. If you calculate the pi (π = circumference/diameter), you get a much larger number than the 3.14159 we used to know. Furthermore, the value of pi was measured differently in different parts of the disk. Because the tangential speeds are different.

Einstein applies the equivalence principle to this thought experiment. If rotational speed (=acceleration) changes the circumference of each part of the disk, gravity also changes the circumference of each part of the disk! Einstein came up with this result through this thought experiment.

Q8. So, you can think of a disk with high speed on the outer edge and slowing down on the inside as a disk with a high gravitational field on the outside and a weaker gravitational field toward the center. Through this thought experiment, in which the gravitational field also changes the circumference of the circle, Einstein was able to imagine a curved space at last.

You’re right. Now, can you imagine a disk whose pi(π) value is not 3.14159... and where time flows differently? The fact that the π value is not the 3.14159... we used to know means that it is not flat. The pi value we used to know is derived from Euclidean geometry, which is a plane geometry. Through this, Einstein realized that the 3-dimensional space affected by the gravitational field could not be described by Euclidean geometry, and decided to find a new geometry. Before that, Einstein first tries to imagine pictures of the curved space that the new geometry will draw. I'll show you the specific pictures next time.

 

<pinepines@injurytime.kr>