아인슈타인의 장방정식 – 아인슈타인의 상대성이론 오디세이 13

Q1. 당신은 지난시간에 사람들이 팽팽하게 당기고 있는 천(피륙) 위에 볼링공을 얹은 경우를 상상하며 ‘굽은 공간’의 그림을 소개해주셨습니다. 또 아인슈타인은 중력이란 개념은 ‘굽은 공간’으로 대치할 수 있다면서, 빛이 항성 주변에서 휘어지는 건 그 항성이 중력이란 힘으로 빛을 끄는 게 아니라 빛이 다만 굽어진 공간을 따라가는 것이라고 해석했다고 당신은 소개해주셨습니다. 오늘은 어떤 내용을 전해주실 건가요?

오늘은 아인슈타인이 ‘굽은 공간’을 기술하는 수학인 리만기하학을 도구 삼아 일반상대성이론의 핵심인 아인슈타인의 장방정식(중력장 방정식)을 도출하는 과정을 소개하겠습니다. 아인슈타인의 장방정식은 과학사상 가장 멋지고 우아한 방정식이라는 데 이의를 달 물리학자는 없을 겁니다.

Q2. 무척 기대가 됩니다. 그럼 아인슈타인이 중력장 방정식을 유도하는 과정에 대한 스토리를 들어볼까요?

아인슈타인이 생애 최고의 영감을 얻어 등가원리를 인식한 것은 1907년이었는데, 이때 곧바로 일반상대성이론에 매진하지는 않았어요. 1908, 1909년엔 광양자 연구에 몰두했고요, 중력장에서 시계가 느리게 가고, 빛이 휜다는 사고실험을 통해 구부러진 공간을 상상하고 이를 표현할 새로운 기하학의 필요성을 느낀 게 프라하대학 교수 시절인 1911년 6월 경이고요, 이듬해 7월 모교인 취리히 공과대학 정 교수로 복귀하면서 아인슈타인은 중력의 역할을 설명하는, 그의 표현에 따르면 ‘신의 생각을 알아내는’ 중력장 방정식을 도출하는 연구에 본격 착수합니다.아인슈타인은 그때 뜻하지 않게 엄청난 장애를 느끼는데, 그게 바로 수학이었어요. 굽은 공간을 표현하는 기하학이었죠.

Q3. 물리학의 천재가 수학에 막혀 애를 먹었다니 좀 의외인데요, 어떻게 해결했나요?

예전에, 특허국 취직을 도와준 친구 마르셀 그로스만이란 이름 기억하시나요? 아인슈타인이 그로스만을 찾아가 중력장을 지배하는 법칙을 기술할 수학이 필요하다면서 애원하다시피 말했습니다. “그로스만, 나 좀 도와주게. 난 지금 미칠 지경이네.”

Q4. 오늘은 특수상대성이론을 창안할 때와 같은 혁명적인 천재 아인슈타인의 모습과 다른 면의 연속이네요.

아인슈타인이 중력장 방정식을 기술할 수학을 찾고, 이를 익히는 데 얼마나 노심초사했는가는 독일의 수리물리학자 아놀드 좀머펠트에게 보낸 편지에 잘 나타납니다.

“나는 지금 중력 문제에 몰두하고 있는데, 수학자 친구의 도움으로 모든 난관을 극복하리라 믿고 있습니다. 확실한 것은 생애에 이처럼 고생한 적은 없었다는 것입니다. 또 예전엔 내 무지의 소치로 사치로만 여겼던 수학에 대해 커다란 존경심을 품게 되었습니다. 이 문제에 비한다면 특수상대성이론은 어린애 장난 같은 것입니다.”

Q5. 아인슈타인이 이렇게 고백할 정도면 정말 중력장 방정식을 만드는 길이 얼마나 험했는지 가히 짐작할 만합니다. 이렇게 아인슈타인에게까지 애를 먹인 ‘굽은 공간을 표현하는 기하학’에 대해 간단히 설명해주시죠.

유클리드 기하학이 평면상의 기하학인데 비해 여기에는 곡면기하학이 필요한 건데요, 1854년 베른하르트 리만이 개발한 리만기하학이 바로 그것이었어요. 이것은 미분기하학 혹은 텐서미적분학이라고 부릅니다. 중력장 방정식을 풀려면 텐서미적분학을 풀 줄 알아야 합니다.

Q6. 이제 수학적 도구를 찾았으니 만드는 일만 남았겠네요?

아인슈타인은 리만기학이 우주의 구조를 기술할 수학적 도구임을 확신했어요. 게다가 특수상대성이론의 두 공준 중 하나인 ‘상대성 원리’에 해당하는 ‘일반공변 원리’도 얻었어요. 이제 등가원리와 일반공변 원리라는 두 개의 기둥에다 수학적 도구까지 갖췄으니 이제 집을 짓는 일만 남았죠. 근데 아인슈타인은 돌연 샛길로 빠집니다.

Q7. 샛길이라뇨? 어디로, 왜요?

이건 물리학계의 미스터리 중 하나입니다. 아마도 일반공변 원리가 ‘마흐 원리’에 위배되는지 검토했다는 분석이 있는데, 정확하지는 않아요. 하여간 3년 가까이 샛길에서 헤맨 뒤 1915년에야 자신의 실수를 깨닫고 바른 길로 돌아왔어요.

Q8. 중력장 방정식을 향한 길이 아인슈타인에게도 정말 길고 험했네요.

그렇습니다. 샛길에서 돌아와 그야말로 생애 최고의 집중력을 발휘해 중력장 방정식을 완성했죠. 10개의 서로 다른 방정식들로 구성된 텐서방정식을 다루는 작업은 아인슈타인에게도 만만치 않았죠. 그해 11월 마침내 방정식을 완성해 ‘수성의 근일점 이동’에 적용해보았더니 뉴턴보다 더 정확한 값이 나왔어요. (4년 후 영국의 천문학자 에딩턴에 의해 검증되었죠.) 아인슈타인은 “나는 가장 대담한 꿈을 이루었다는 생각에 며칠 동안 온통 흥분에 휩싸여 지냈다”고 회고했어요. 이때 아인슈타인의 몸무게는 평소보다 15kg이나 빠진 상태였다고 합니다.

Q9. 누군가 아인슈타인 방정식을 처음 보고 ‘한 편의 예술작품’ 같았다고 소감을 피력하기도 했다면서요?

독일의 물리학자인 막스 보른인데요, 다음과 같이 말했다고 합니다. “아인슈타인의 중력장 방정식은 한 편의 예술작품 같다. 자연에 대한 인간 사고의 위대한 향연이며, 철학적 통찰과 물리학적 직관 그리고 수학적 기교의 놀라운 결합이다.” 아인슈타인 방정식을 말할 때 가장 많이 인용되는 문구죠.

Q10. 아인슈타인 본인의 자평은 어떤가요?

--> 아인슈타인이 친구 에렌페스트에게 보낸 편지에 나타나 있습니다. “나는 기쁨과 흥분에 휩싸여 있네. 이 이론을 정말로 이해한다면 깊은 매력을 느끼지 않을 사람은 없을 것이네. 진정 그 아름다움은 비길 데가 없지.”

이 글을 보면, 아인슈타인도 자신의 이론이 너무나 단순하고 우아하면서도 강력하므로 어떤 물리학자도 그 최면 같은 마력에서 벗어나지 못할 것이라고 확신한 걸로 보입니다.

Q11. 도대체 방정식이 어떻게 생겼기에 이런 상찬이 나오는지 궁금해집니다. 이해는 못 하겠지만 수식을 한 번 보고 싶네요.

바로 이겁니다. 어떻습니까?

Q12. 와우, 저는 읽지도 못하겠습니다. 무슨 내용을 담고 있기에 세상에서 가장 아름답고 강력한 수식이라고 하는지 간단히 설명해주시죠.

이 방정식은 뜻하는 바를 한마디로 표현하면 ‘물질(에너지)이 시공간 구조를 결정한다.’입니다. 우변의 Tµν는 에너지(물질)를 나타내고 좌변의 Rµν는 곡률을 나타냅니다. 시공간의 기하학적 구조(좌변)가 물질과 에너지(우변)에 의해 결정된다는 의미를 나타내고 있습니다. 시공간(spacetime)과 물질(에너지)이 서로 얽혀 있음을 보여주고 있는 것입니다.

Q13. 시공간과 물질이 서로 얽혀 있다! 우리가 알고 있는 공간이란 물질을 담는 그릇 같은 것 아닌가요? 방이라는 공간 안에 침대나 책상 같은 가재도구(물질)이 들어 있듯이요.

핵심적인 질문입니다. 종전의 그런 시공간과 물질의 개념이 아인슈타인의 중력장 방정식으로 인해 혁명적으로 바뀐 것이죠.

Q14. 아인슈타인은 어려운 물리개념을 어린이도 쉽게 알도록 설명할 수 있어야 한다는 지론을 많이 편 걸로 아는데요, 본인은 혁명적으로 바꾼 시공간과 물질 개념을 어떻게 설명했는지 궁금합니다.

1921년 아인슈타인이 처음 미국을 방문했는데요, 당시 아인슈타인은 스타 대접을 받았어요. 어수선한 분위기에서 한 기자가 일반상대성이론이 뭡니까? 하고 물었어요. 이에 아인슈타인은 아주 진지하게 다음과 같이 대답했어요.

“과거에는 우주에서 물질적인 모든 것이 사라져도 시간과 공간은 남아 있을 거라고 믿었습니다. 그러나 나의 새로운 상대성이론(일반상대성이론)에 따르면, 물질과 함께 공간과 시간도 사라집니다.” 일반상대성이론과 아인슈타인 방정식에 관한 ‘최고의 명언’이 아닐까 합니다.

Q15. 물질이 사라지면 공간과 시간도 사라진다! 상상이 잘 안 되네요. 아인슈타인 방정식이 엄청난 우주의 법칙을 담고 있다고 하셨는데, 구체적으로 어떤 게 있는지 소개해주시죠?

현대 우주론은 일반상대성이론이 나옴으로써 가능해졌다, 이렇게 단정할 수 있어요. 우주론은 우주의 탄생과 진화과정을 탐구하는 학문인데, 현대 우주론의 이론적 토대는 일반상대성이론입니다. 예를 들어 독일천문대장인 칼 쉬바르츠실트가 중력장 방정식을 푸는 과정에서 블랙홀의 존재를 발견했고요, 러시아의 물리학자 프리드먼은 중력장 방정식을 풀어보니 우주가 팽창하거나 수축한다는 사실을 알게 됐어요. 나중에 허블이 관측으로 우주 팽창을 확인했고요. 그 팽창우주론에서 빅뱅을 유추하게 됐고, 오늘날 우주론의 근간인 빅뱅우주론이 자리잡게 됐죠.

Q16. 마지막으로 아인슈타인이 이렇게 강력한 중력장 방정식을 고쳐 ‘생애 최대의 실수’라고 고백한 일화가 있다던데요, 그건 뭔가요?

--> 우주 팽창과 관련 있는 건데요, 아인슈타인은 우주가 정적이면서 유한하다고 생각했어요. 그런데 자신의 중력장 방정식을 직접 풀어보니 유한한 우주는 팽창하거나 수축해야지 결코 정적인 상태로 유지될 수 없다는 결론이 나왔어요. 그래서 우주가 팽창하거나 수축하지 않도록, 자신의 아름다운 방정식에 우주상수라는 군더더기를 추가했어요. 그런데 나중에 우주가 실제로 팽창한다는 게 관측으로 확인된 후 우주상수 추가가 실수임을 깨닫고 ‘생애 최대 실수’라고 토로한 것이죠.

근데 말입니다. 오늘날 우주론에서는 그 우주상수가 군더더기가 아니라 ‘암흑에너지’의 신비를 풀어줄 열쇠일지도 모른다는 의견도 부산하고 있습니다. 암흑에너지는 우주의 진화에 영향을 미치는 어떤 알 수 없는 에너지인데요, 아인슈타인의 ‘최대 실수’가 우주론의 발전을 견인하는 형국입니다.

 

Dialogue concerning Einstein Field Equations

Q1. Last time, you introduced the picture of ‘Curved Space’, imagining a bowling ball placed on a fabric that people are pulling taut. You also introduced that Einstein said that the concept of gravity can be replaced by 'curved space', and that the reason why light bends around a star is that the star does not pull the light with the force of gravity, but that the light simply follows the curved space. What will you tell us today?

Today, I will introduce the process of deriving Einstein’s equations (or Einstein field equations), which are the core of the general theory of relativity. No physicist would dispute that Einstein’s equations are the coolest and most elegant equations in the history of science.

Q2. I am very much looking forward to it. Shall I listen to the story of Einstein's process of deriving the gravitational field equations?

It was in 1907 that Einstein gained the principle of equivalence with the greatest inspiration of his life, but at this time he did not immediately devote himself to general relativity. In 1908 and 1909, he immersed himself in the study of light quantum. It was around June 1911, when he was a professor at Prague University, that he imagined a curved space and felt the need for a new geometry to express it through a thought experiment in which clocks run slowly and light bends in a gravitational field.

In July of the following year, returning to his alma mater as a professor at the Swiss Federal Institute of Technology in Zurich, Einstein embarked on a full-scale study of deriving the gravitational field equations to explain the role of gravity.

It was, according to his expression, 'to discover God's thoughts.' Then Einstein encountered a huge obstacle. That was math. It was a geometry that expresses a curved space.

Q3. It's a little surprising that a genius in physics got stuck in math, so how did you solve it?

Do you remember the name of Marcel Grossman, Einstein’s friend who helped him get a job at the Patent Office in the past? Einstein went to Grossman and almost begged for mathematics to describe the laws governing the gravitational field. “Grossman, help me. I am going crazy right now.”

Q4. Today is a series of different aspects of Einstein, a revolutionary genius like when he created the theory of special relativity.

How anxious Einstein was to find and master the mathematics to describe the equations of the gravitational field is illustrated in a letter to the German mathematical physicist Arnold Sommerfeld.

“I am now occupied with the problem of gravity, and with the help of my mathematician friend I believe that I will overcome all difficulties. What is certain is that I have never suffered like this in my life. I also got have a great respect for mathematics, which I had previously regarded as a luxury due to my ignorance. Compared to this problem, special relativity is child's play.”

Q5. If Einstein confessed like this, it is worth guessing how difficult the road to creating the gravitational field equations was. Please briefly explain the ‘geometry that expresses curved space’, which even Einstein struggled with.

While Euclidean geometry is plane geometry, curved geometry is needed here, which was Riemann geometry developed by Bernhard Riemann in 1854. This is called differential geometry or tensor calculus. Solving gravitational field equations requires knowledge of tensor calculus.

Q6. Einstein found mathematical tools, all that's left to do is create them.

Einstein was convinced that Riemannian geometry was a mathematical tool for describing the structure of the universe. Besides, he also got the principle od general covariance corresponding to the principle of relativity, one of the two postulates of the special theory of relativity. Now that we have the two pillars of the equivalence principle and the general covariance principle, plus the mathematical tools, all that remains is to build a house. But Einstein suddenly falls into a byway.

Q7. Is it a byway? where and why?

This is one of the mysteries of physics. There is an interpretation that Einstein believed that the general covariance principle violated Mach's principle, but it is not sure if that's true. Anyway, after wandering on the byway for nearly three years, Einstein realized his mistake and returned to the right path in 1915.

Q8. The road to the gravitational field equation was really long and rough, even for Einstein.

That's right. He returned from the byway and completed the gravitational field equation with the greatest concentration of his life. Dealing with tensor equations made up of 10 different equations was a challenge even for Einstein. In November of that year, he finally completed the equation and applied it to the ‘shift of Mercury’s perihelion,’ and it gave a more accurate value than Newton’s. Einstein recalled,

“I spent several days filled with joy and excitement at the thought that I had achieved my most daring dream.” At this time, Einstein's weight was said to be 15 kg less than usual.

Q9. Did someone say that they saw Einstein’s equations for the first time and said that It was like ‘a piece of art’?

This is the German physicist Max Born, he said as following. “Einstein's field equations are like a work of art. These are a great feast of human thought about nature, a wonderful combination of philosophical insight, physical intuition and mathematical skill.” It's the most quoted phrase when talking about Einstein equations.

Q10. What about Einstein's own evaluation?

It is appears in Einstein's letter to his friend Ehrenfest. “I am with joy and excitement. If you really understand this theory, there's no one who won't feel deeply attracted to it. Truly, its beauty is incomparable.”

Looking at this article, Einstein seems convinced that his theory is so simple, so elegant, so powerful that no physicist will escape its hypnotic spell.

Q11. I wonder what the equations look like to come out like these compliment. I'd like to take a look at the formula.

That's it. How is it?

Q12. Wow, I can't even read. Please briefly explain what it contains and why it is the most beautiful and powerful formula in the world.

In a word, what these equations mean is ‘matter (energy) determines the structure of space-time.’ Tµν on the right hand side represents energy (matter), and Rµν on the left hand side represents curvature. It represents the meaning that the geometry of space-time (left side) is determined by matter and energy (right side). It shows that spacetime and matter (energy) are intertwined.

Q13. Space-time and matter are intertwined! Isn't the space we know like a vessel that holds matter? Just as there are household items (substances) such as a bed or a desk in the space of a room.

A key question. The previous concept of space-time and matter was revolutionized by Einstein's gravitational field equations.

Q14. I know that Einstein had a lot of theories that difficult physics concepts should be easy to understand even for children. I wonder how he explained the revolutionary concepts of space-time and matter.

Einstein first visited the United States in 1921, and at that time Einstein was treated as a star. In a cluttered atmosphere, a reporter asked, "What is the theory of general relativity?" To this, Einstein responded very seriously:

“In the past, it was believed that even if every material in the universe disappeared, time and space would remain. But according to my new theory of relativity (general relativity), space and time disappear with matter.” This is probably the best saying about general relativity and Einstein's equations.

Q15. When matter disappears, space and time disappear too! I can't imagine. You said that Einstein's equations hold the key to unlocking the great secrets of the universe. Could you please introduce what they are specifically?

Modern cosmology became possible with the advent of general relativity, it can be concluded like this. Cosmology is a study that explores the birth and evolution of the universe, and the theoretical foundation of modern cosmology is general relativity. For example, Karl Schwarzschild, director of the German Observatory, discovered the existence of black holes while solving the Einstein field equations, and Russian physicist Friedman solved the field equation and found that the universe expands or contracts. Later, Hubble confirmed the expansion of the universe through observations. From that expansionary cosmology, the Big Bang was inferred, and the Big Bang cosmology, the basis of today's cosmology, was established.

Q16. Finally, I heard that there is an interesting anecdote about Einstein confessing that he made the 'biggest mistake of his life' regarding his equations. What is that?

It has to do with the expansion of the universe. Einstein thought the universe was static and finite. However, when he solved his gravitational field equation himself, he came to the conclusion that the finite universe must either expand or contract and never remain static. So, to keep the universe from expanding or contracting, he added a cosmological constant to his beautiful equation. But later, after observation confirmed that the universe actually expands, he realized that adding the cosmological constant was a mistake and said it was the “biggest mistake of my life.”

But that's it. In today's cosmology, there are also opinions that the cosmological constant may be the key to unlocking the mystery of 'dark energy', rather than being a superfluity. dark energy is an unknown energy that affects the evolution of the universe, Even Einstein's 'greatest mistake' is contributing the development of cosmology.

<pinepines@injurytime.kr>